Московская Сретенская  Духовная Академия

Михаил Петрухно 02.05.2019 22537

До начала III века многие христиане праздновали Пасху, сообразуясь с Пасхой иудеев. Впоследствии Римская и Александрийская Церкви разработали собственные пасхалии — методы расчета даты Пасхи, независимые от иудейской традиции. Эти две пасхалии во многом были схожи, но имели и различия, ввиду которых две эти Церкви нередко праздновали Пасху в разные дни.

На Первом Вселенском Соборе в Никее были приняты постановления относительно празднования Пасхи, текст которых не сохранился. Из косвенных источников можно уяснить, что суть этих постановлений ― праздновать Пасху всем христианам в один и тот же день и не отмечать ее вместе с иудеями, у которых рассчитанная дата Пасхи иногда стала приходиться на период до весеннего равноденствия.

В основу лунно-солнечных календарей полагается тропический год — промежуток времени между двумя последовательными прохождениями центра диска Солнца через точку весеннего равноденствия

Для понимания математических основ пасхалии необходимо уяснить принцип устройства лунно-солнечных и солнечных календарей, история которых представлена в многочисленных учебных пособиях и справочниках[1].

Лунно-солнечный календарь

Календарем принято называть определенную систему счета продолжительных промежутков времени с подразделениями их на отдельные, более короткие периоды — годы, месяцы, недели, дни[2].

Лунно-солнечный календарь[3] характерен тем, что используется для привязки времен года к определенным месяцам календарного года и для привязки фаз Луны (новолуния, первой четверти, полнолуния и последней четверти) к определенным числам (дням) календарного месяца.

Изменение фаз Луны связано с освещением ее Солнцем во время обращения вокруг Земли — за один полный оборот. За это время Луна проходит все четыре указанные фазы. Период такого обращения называется синодическим месяцем и, согласно современным подсчетам, составляет (в среднем) 29,53058812 суток[4].

Смена времен года связана с обращением Земли вокруг Солнца. Существуют разные способы определения периода полного обращения Земли вокруг Солнца. В основу лунно-солнечных календарей полагается тропический год — промежуток времени между двумя последовательными прохождениями центра диска Солнца через точку весеннего равноденствия. Не углубляясь в определение термина точка весеннего равноденствия, можно обозначить ее как некоторую точку на небе, определяемую по звездам. Прохождение Солнца через эту точку связано с днем весеннего равноденствия (или просто весенним равноденствием) — земным днем, характеризующимся равенством продолжительности дня и ночи. Длительность тропического года составляет 365,24219880 суток[5].

Как видно, длительность синодического месяца не выражается целым числом суток, поэтому при разработке лунно-солнечного календаря необходимо вводить календарные месяцы длительностью по 29 и 30 суток с их чередованием, чтобы в среднем длительность календарного месяца совпадала с длительностью синодического месяца. При таком подходе полнолуние всегда будет выпадать на 14-е число месяца.

Длительность тропического года тоже не совпадает с целым числом синодических месяцев:

12 синодич. мес. ≈ 354^d,367,

13 синодич. мес. ≈ 383^d,898.

Поэтому при разработке календаря также необходимо вводить календарные годы различной длины: 12 месяцев (обычные или простые годы) и 13 месяцев (эмболимические или эмболисмические годы), чтобы средняя длительность календарного года была равна длительности тропического года. В этом случае времена года будут приходиться на одни и те же месяцы календарного года (см. рис. 1).

Вставка (интеркаляция) дополнительного, тринадцатого месяца в календарный год может быть основана на непосредственных наблюдениях, как это было, например, в иудейском календаре до разрушения второго храма, или же на повторяющемся цикле из N лет, среди которых M лет — эмболимические, а оставшиеся (N— M) — простые. 

Примером такого цикла является 19-летний цикл (N = 19), разработанный древнегреческим астрономом Метоном в 432 г. до н.э.[6] В этом цикле содержится ровно 235 месяцев, то есть первый день первого месяца совпадает с первым днем первого года в цикле, а последний день 235-го месяца — с последним днем 19-го года. Ввиду того, что в цикле должно быть целое число суток, а

19 тропич. лет ≈ 6939^d,602 и

235 синодич. мес. ≈ 6939^d,688,

число суток в метоновом цикле полагается равным 6940.

Количество эмболимических лет в цикле Метона равно семи (М = 7), поскольку 7 (эмболимич. лет) × 13 (мес.) + 12 (простых лет) × 12 (мес.) = 235 (мес.). Ввиду того, что 6940^d = 125 × 30^d + 110 × 29^d, 30-дневных календарных месяцев в цикле Метона на 15 больше, чем 29-дневных.

Солнечный календарь

В отличие от лунно-солнечного календаря, солнечный календарь[7] используется лишь для привязки времен года к определенным месяцам календарного года, привязка солнечного календаря к фазам Луны не делается.

Независимость от фаз Луны позволяет вводить календарные месяцы произвольной длины. Поэтому календарный год уже не должен содержать целое число синодических месяцев, а лишь целое число суток. Длительность тропического года не выражается целым числом суток, поэтому при разработке календаря необходимо вводить обычные и високосные годы длительностью по 365 и 366 суток соответственно.

Юлианский римский календарь

Широко известен юлианский календарь, разработанный группой александрийских астрономов и введенный в употребление в Римской республике Гаем Юлием Цезарем в 45 г. до Р.Х. В нем високосным считается каждый четвертый год, следовательно средняя длительность года составляет (3 (обычных года) × 365^d + 1 (високосный год) × 366^d) / 4 = 365,25^d, что является хорошим приближением длительности тропического года. Период времени длительностью 365,25 суток называется юлианским годом. В современной России юлианский календарь называют старым стилем.

Новым же стилем называется григорианский календарь, который является более точным в отношении тропического года, чем юлианский. Единственное отличие григорианского календаря от юлианского состоит в том, что правило для определения високосного года несколько усложняется: високосными являются те годы, номера которых делятся на 4, но не делятся на 100; однако, если номер года делится на 400, то год считается високосным. Это различие приводит к тому, что юлианские даты отстают от григорианских. На данный момент это отставание составляет 13 дней.

Период времени длительностью 365,25 суток называется юлианским годом ― в современной России юлианский календарь называют старым стилем

Так, в классической александрийской пасхалии днем весеннего равноденствия полагается 21 марта юлианского календаря (подробнее об этом будет сказано ниже).

 Александрийский календарь

Александрийский солнечный календарь был введен в Египте императором Октавианом Августом в 25 году до Р.Х.[8] Александрийский календарь основан на древнеегипетском гражданском солнечном календаре, в котором календарный год состоит из 12 месяцев по 30 суток каждый и 5 дополнительных суток (эпагомен), идущих в конце года. Таким образом, длина календарного года в Древнем Египте составляла 365 суток.

Император Октавиан реформировал древнеегипетский календарь, включив в него високосные годы по 366 суток на манер юлианского календаря: каждый четвертый год стал считаться високосным. Високосные годы стали содержать 6 эпагомен вместо 5. Для удобства високосные годы александрийского календаря непосредственно предшествовали високосным годам юлианского календаря. Начало александрийского года, 1 тота, совпадает с 29 августа юлианского года (см. таблицу выше). Соответственно, 2 тота — это 30 августа и т. д. Если же александрийский год является високосным, то 29 августа соответствует 6-му эпагомену, 1 тота следующего года смещается на 30 августа, 2 тота — на 31 августа и т. д. Однако уже через полгода это смещение на один день устраняется, поскольку в конце февраля происходит вставка дополнительного дня (29 февраля) в юлианский високосный год, который следует за александрийским високосным. После этого, 5 фаменота будет как обычно соответствовать 1 марта, 6 фаменота — 2 марта, …, 30 фаменота — 26 марта, 1 фармути — 27 марта и т.д.

Что касается нумерации лет, то александрийский календарь отстает от римского на 9 месяцев. Так, например, 1 тота 322 года по александрийскому календарю приходится на 29 августа 322 года по римскому.

Лунно-солнечные календари, основанные на циклах

Здесь описываются лишь те лунно-солнечные календари, которые использовались в христианских и иудейских пасхалиях.

Интеркаляция (вставка) тринадцатого месяца в календарный год на основе повторяющегося цикла имеет преимущество в том, что отпадает необходимость непосредственных наблюдений за Солнцем или природными явлениями. Для того, чтобы создать хороший цикл, необходимо подобрать такое количество тропических лет и такое количество синодических месяцев, чтобы количество суток в них совпадало с хорошей степенью точности.

Например, в рассмотренном выше цикле Метона взято 19 тропических лет и 235 синодических месяцев. Но методы такого подбора выходят за рамки данной статьи.

Недостаток использования циклов состоит в том, что достигнуть абсолютной точности в подборе количества тропических лет и синодических месяцев невозможно. Следовательно, неизбежны расхождения лунно-солнечного календаря, основанного на цикле, с Солнцем и Луной. Другими словами, привязка времен года к определенным месяцам календарного года и привязка фаз Луны к определенным числам (дням) календарного месяца будет все больше и больше ослабевать с течением времени.

19-летний цикл и циклы на его основе

Цикл Метона

Как уже было сказано, 19-летний цикл разработал древнегреческий астроном Метон в 432 году до Р.Х. Аналогичный 19-летний цикл использовался в Древнем Вавилоне с IV веке до Р.Х. (по некотором данным — с VI веке до Р.Х.)[9]. Он был открыт и в Древнем Китае, примерно в VI веке до Р.Х., и широко использовался среди народов Дальнего Востока и евразийских степей.

Привязка времен года к определенным месяцам календарного года и привязка фаз Луны к определенным числам (дням) календарного месяца будет все больше и больше ослабевать с течением времени

с Солнцем: 6940^d — 19 (тропич. лет) × 365^d,24219880 = 0^d,3982228,

с Луной: 6940^d — 235 (синодич. мес.) × 29^d,53058812 = 0^d,3117918.

Следовательно, расхождение в 1 сутки с Солнцем будет накапливаться каждые (19 / 0,3982228 ≈) 48 лет, а с Луной — каждый (19 / 0,3117918 ≈) 61 год. Как видно, расхождения будут иметь характер «отставания» календаря от Солнца и от Луны.

В нижеследующей таблице приведены все параметры метонова цикла:

Для использования цикла Метона (как и циклов Каллиппа и Гиппарха, описываемых ниже) на практике необходимо:

1) определить номера эмболимических годов;

2) фиксировать начало отсчета цикла — дату, от которой будут отсчитываться календарные дни;

3) определить, какие именно месяцы будут 29-дневными, а какие — 30-дневными.

Цикл Каллиппа

В IV веке до Р.Х. древнегреческий астроном Каллипп усовершенствовал цикл Метона, создав свой 76-летний цикл. Аналогичный цикл был известен в Восточной Азии, не позднее IV века до Р.Х.

Суть усовершенствования состоит в том, что каждые 76 лет, то есть каждые четыре 19-летних метоновых цикла в календаре, исключается один день^[10],[11]. Эта корректировка уменьшает расхождение календаря с Солнцем и с Луной. Соответственно, цикл Каллиппа можно рассматривать или как 19-летний цикл со специальными корректировками (поправкой по Каллиппу), или как (19 × 4 =) 76-летний цикл без корректировок:

^* здесь и далее: без учета специальных корректировок.

Цикл Гиппарха

В 125 году до Р.Х. греческий астроном Гиппарх создал новый цикл, усовершенствовав цикл Каллиппа путем исключения одного календарного дня каждые 304 года, то есть каждые четыре 76-летних цикла Каллиппа. Это усовершенствование уменьшает расхождение календаря с Солнцем и с Луной. Расхождение с Луной становится небольшим, но при этом оно приобретает характер обгона. Как видно, цикл Гиппарха можно рассматривать или как 19-летний, или 76-летний цикл со специальными корректировками (поправкой по Гиппарху), или как (76 × 4 =) 304-летний цикл без корректировок:

Юлианский 19-летний (76-летний) цикл

Особым этапом в развитии лунно-солнечных календарей стало совмещение лунно-солнечного календаря, основанного на 19-летнем цикле, с юлианским солнечным календарем. Получившийся 19-летний цикл носит название юлианского[12] и был создан для удобства расчета даты Пасхи. Впервые юлианский цикл встречается в пасхалии еп. Анатолия Лаодикийского (277 год по Р.Х.). Тем не менее, возможно, что подобный цикл появился и раньше, в Сирии.

Суть юлианского цикла состоит в том, что он содержит в себе ровно 19 юлианских годов, то есть (365^d,25 × 19 =) 6939^d,75. Таким образом, через каждые 19 лет все даты соответствующего лунно-солнечного календаря будут совпадать с датами юлианского календаря. Количество суток в юлианском цикле совпадает с таковым в цикле Каллиппа, поэтому точность этих циклов одинакова.

Дробное количество суток в цикле (6939,75) достигается следующим образом: среди обычных (не вставных) 12-ти календарных месяцев в одном годе цикла содержится шесть 29-дневных и шесть 30-дневных: первый месяц содержит 30 дней, второй — 29, третий — 30 и т.д. Вставные (тринадцатые) же месяцы содержат по 30 дней. Кроме того, вставные дни юлианского календаря (29 февраля) включаются и в соответствующие месяцы лунно-солнечного календаря, образуя 30-дневные или 31-дневные календарные месяцы. Ввиду того, что 19 не кратно 4, вставных дней в 19-летнем цикле бывает либо 4, либо 5. В среднем же в один цикл вставляется (19 / 4 =) 4,75 суток.

Особым этапом в развитии лунно-солнечных календарей стало совмещение лунно-солнечного календаря, основанного на 19-летнем цикле, с юлианским солнечным календарем

Количество дней в юлианском цикле чередуется: либо 6939, либо 6940, в зависимости от количества вставочных дней. Включение в лунно-солнечный календарь дополнительных дней, соответствующих 29 февраля юлианского календаря, как бы абстрагирует его от вставок дополнительных дней в солнечный (юлианский) календарь. Именно это обеспечивает тот факт, что каждые 19 лет все даты лунно-солнечного календаря совпадают с датами юлианского календаря, вне зависимости от того, сколько дополнительных дней было добавлено в лунно-солнечный календарь за эти 19 лет.

В нижеследующей таблице приведены все параметры юлианского цикла:

Для использования юлианского цикла (как и 84-летнего цикла, описываемого ниже) на практике необходимо:

1) определить номера эмболимических годов;

2) фиксировать начало отсчета — дату, от которой будут отсчитываться календарные дни;

3) определить положение «скачка луны».

84-летний цикл

Другим вариантом совмещения лунно-солнечного и юлианского календаря является 84-летний цикл[13]. Происхождение этого цикла неизвестно, но известно, что он был разработан в III в. специально для римской пасхалии.

Принцип организации 84-летнего цикла такой же, как и у юлианского 19-летнего — вставка дополнительных дней, соответствующих 29 февраля юлианского календаря и «скачки луны», которых в этом цикле шесть. Ввиду того, что 84 кратно 4, количество вставных дней в цикле равно (84 / 4 =) 21.

Остальные параметры 84-летнего цикла см. в таблице:

Как видно, 84-летний цикл дает такую же погрешность по Солнцу, как и юлианский цикл. Погрешность же по Луне у 84-летнего цикла гораздо больше и имеет характер обгона, что особенно ярко проявится в пасхальном споре относительно 455 года, о чем будет идти речь ниже.

Экскурс: Лунные эпакты

Лунной эпактой (или просто эпактой) называется возраст луны (номер лунного дня) на фиксированный календарный день солнечного года. Совокупность эпакт для всех годов цикла образует эпакты цикла. Если в каждой итерации цикла все даты соответствующего лунно-солнечного календаря будут совпадать с датами солнечного календаря, как это происходит, например, в юлианском 19-летнем и 84-летнем циклах, то, очевидно, эпакты цикла будут одинаковы для каждой итерации цикла.

Так, например, эпакты 84-летнего цикла для 1 января таковы: 1, 12, 23, 4, 15, 26, 7, … Характерно, что эпакта с каждым годом возрастает на 11. В случае превышения числа 30, эпакта, соответственно, уменьшается на 30. Если же в цикле присутствует «скачок луны», то в этом месте эпакта увеличивается на 12. На основании этого факта легко определить положение «скачков луны», если известны эпакты цикла.

Необходимо отметить, что правило возрастания эпакт на 11 соблюдается лишь в том случае, если между двумя соседними датами, для которых вычисляется возраст луны, всегда содержится 6 календарных лунных месяцев по 29 дней. Иначе эпакты окажутся «смазанными» ― правило увеличения на 11 не будет выполняться. Например, для 84-летнего цикла эпакты для 15 апреля будут «смазаны».

Чтец Михаил Петрухно

Выпускник Сретенской духовной семинарии

Материал опубликован 02.04.2018 г.

Ключевые слова: пасхалия, система, лунно-солнечный календарь, Рим, Александрия, юлианский календарь, цикл, дата Пасхи, Солнце, Луна, эпакты

[1] См., например, Иванова Н.П., Цыб С.В. Историческая хронология: Курс лекций. Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та. — 2003. Каменцева Е.И. Хронология. — 2-е изд., испр. и дополн. — М.: Аспект Пресс. — 2003. Климишин И.А. Календарь и хронология. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит., 1985. — С. 7. Пронштейн А.П., Кияшко В.Я. Хронология: Учебное пособие. — М.: Высшая школа. — 1981. Цыбульский В.В. Календари и хронология стран мира. — М.: Просвещение. — 1982.

[2] Климишин И.А. Календарь и хронология. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит., 1985. — С. 7.

[3] Там же. С. 48-50.

[4] Там же. С. 34.

[5] Там же. С. 28-29.

[6] Там же. С. 53.

[7] Там же. С. 54.

[8] Там же. С. 225.

[9] Кузенков П.В. Христианские хронологические системы. — М.: Русский изд. центр им. св. Василия Великого, 2015. — С. 391.

[10] Зелинский А.Н. Конструктивные принципы древнерусского календаря // Календарный вопрос: сборник статей / Ред.-сост. А. Чхартишвили. — М.: Изд. Сретенского монастыря, 2000. — С. 234-278.

[11] Кузенков П.В. Христианские хронологические системы. — М.: Русский изд. центр им. св. Василия Великого, 2015. — С. 392.

[12] Кузенков П.В. Христианские хронологические системы. — М.: Русский изд. центр им. св. Василия Великого, 2015. — С.122-124, 392-393. Климишин И.А. Календарь и хронология. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит., 1990. — С.117.

[13] Кузенков П.В. Христианские хронологические системы. — М.: Русский изд. центр им. св. Василия Великого, 2015. — С. 116-119, 390.